Beschränkte Folgen|Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:28 Fr 09.01.2009 | | Autor: | MartaG |
| Aufgabe | Für eine Beschränkte Folge reeller Zahlen [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] definiert man deren oberen bzw. unteren Grenzwert wie folgt:
[mm] \limsup_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\sup_{k\ge n}a_k) [/mm]
[mm] \liminf_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\inf_{k\ge n}a_k) [/mm] .
Zeigen Sie, dass für jede beschränkte Folge der untere Grenzwert existiert, wobei
[mm] \liminf_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = [mm] \sup_{n\in\IN}(\inf_{k\ge n} a_k). [/mm]
Beweisen Sie desweiteren für zwei beschränkte folgen [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (b_n)_{n\in\IN} [/mm] die Abschätzung
[mm] \liminf a_n+\liminf b_n\le \liminf(a_n+b_n).
[/mm]
Warum gilt im Allgemeinen nicht die Gleichheit? Beweisen Sie schließlich, dass eine Folge [mm] (a_n) [/mm] genau dann konvergiert, wenn
[mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = [mm] \liminf_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] =:A
wobei sich im Fall der Konvergenz [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = A ergibt. |
Hey MatheRaum ;)
bei dieser Aufgabe wäre ich nicht nur für Lösungsansätze sondern auch für gesamte Lösungen dankbar. Komm mit der Aufgabe gar nicht klar.
Danke :)
Lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Fr 09.01.2009 | | Autor: | pelzig |
Poste bitte zuerst eigene Lösugsansätze.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Fr 09.01.2009 | | Autor: | MartaG |
Würde ich ja gerne, aber wenn man keine Ahnung hat, dann ist man wohl falsch...??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Fr 09.01.2009 | | Autor: | reverend |
Na, wenn Du diese Aufgaben lösen sollst, wirst Du doch irgendetwas zum Thema gehabt haben. Was ist ein Infimum, was ein Supremum? Versuch doch mal, wenigstens eine Teilaufgabe anzugehen und poste hier, wie weit Du kommst.
So wissen wir doch noch nicht einmal, wo es "hängt", also welchen Tipp man Dir geben könnte.
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Fr 09.01.2009 | | Autor: | pelzig |
Wenn kein Bemühen, die Aufgaben selbstständig zu lösen, erkennbar ist, bist du hier falsch. Lies dir die Forenregeln durch.
Überlege dir zuerst, was eigentlich genau zu zeigen ist. Wie sind die Objekte definiert? Welche Sätze zu dem Thema habt ihr in der VL oder in dem Buch schon gehabt? Rechne ein Beispiel. Was weißt du z.B. über monotone beschränkte Folgen? Wenn du eine konkrete Frage hast, werden die Leute hier dir sicher gerne weiterhelfen.
Gruß, Robert
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